Paradox 1

Paradoxurile lui Zeno

Paradoxurile lui Zeno sunt un set de probleme ce ar fi fost concepute de Zeno din Elea (filozof grec) in sprijinul doctrinei lui Parmenide cum ca „totul este unu”, si care contrar dovezilor simturilor noastre, pluralitatea si schimbarea este gresita, si in special ca miscarea nu este nimic, decat o iluzie.

Va prezint primul din aceasta serie:

Ahile si broasca testoasa.

„Intr-o cursa, cel mai rapid alergator nu-l va depasi niciodata pe cel mai lent, deoarece urmaritorul trebuie mai intai sa ajunga in punctul de unde a inceput urmarirea, asa ca cel lent intotdeauna va avea un avantaj.”  Aristotel, Fizica VI:9; 239b15

In acest paradox Ahile se ia la intrecere cu o broasca testoasa, dandu-i acesteia un avans de 100 de metri. Daca presupunem ca fiecare alergator va alerga cu o viteza constanta (unul foarte repede si unul foarte incet), atunci dupa o anumita perioada, Ahile va fi alergat 100 de metri, ajungand in punctul de plecare al testoasei. In acest timp, testoasa strabate si ea o distanta mai scurta, sa zicem, 10 metri. Acum, ii va lua lui Ahile inca ceva timp sa parcurga cei 10 metri, timp in care testoasa mai inainteaza, si deci mai mult timp pentru Ahile de a ajunge in al treilea punct, timp in care testoasa tot inainteaza. Astfel, ori de cate ori Ahile ajunge intr-un punct unde testoasa a fost, el inca mai are de mers pentru a o ajunge pe aceasta. Prin urmare, deoarece existe un numar infinit de puncte pe care Ahile trebuie sa le ajunga, puncte prin care testoasa a trecut, el n-o va putea depasi niciodata pe aceasta.

Problema le-a dat multa bataie de cap grecilor deoarece ei nu intelegeau conceptul de infinit. Ea nu a fost rezolvata matematic pana in anul 1600, cand un matematician scotian, James Gregory, a demonstrat ca un numar infinit de valori descrescatoare pot fi insumate avand ca rezultat un numar finit. Adica conform lui Zeno avem 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16+...= 1.

Matematicieni moderni folosesc astfel de serii dar ei spun ca au ca limita 1, sau ca tind catre 1. Adica ne putem apropia putin cate putin de 1 adunand cate un element al seriei, dar neajungand la 1 – asta fiind imposibil deoarece luam in considerare o serie infinita. Asa ca in loc sa ofere o argumentare impotriva paradoxului, matematicienii de fapt sunt de acord cu el.

Acest paradox ne arata ca, cu toate ca exista o ramura a matematicii care se ocupa cu numere infinite, ea nu reduce aspectul de puzzle a problemei. Noi stim ca aceasta cursa va fi castigata de Ahile, dar vrem sa stim ce este in neregula cu aceste argumente care ne arata contrariul.

Paradoxul incearca sa gasesca contradictii ideii ca miscarea este continua si ca spatiul poate fi subdivizat la infinit. Dar miscarea poate fi continua: spatiul poate fi discret iar miscarea poate fi o serie de pasi mici. Asa ca in aceeasi nota, poate fi un numar finit de pasi  – cu toate ca foarte mare – intre inceputul si sfarsitul cursei. 

Deci paradoxul poate fi evitat spunand ca exista un prim pas, incredibil de mic, care poate fi parcurs, unde nu exista o alta jumatate din acest pas. Similar, exista un mic si indivizibil ultim pas pe care Ahile il poate face, ce-i permite acestuia s-o prinda din urma si s-o depaseasca pe testoasa.

Sursa: Johnny Ball - Think of a number, The philosopher's magazine on the internet