Numere magice: 6174 şi 142857

6174

În anul 1949, matematicianul D. R. Kaprekar din Devlali, India  a conceput un proces cunoscut acum sub numele de operaţia lui Kaprekar. Întâi alegeţi un oricare număr format din patru cifre, dar să nu fie format din aceeaşi cifra ca 1111 sau 5555, etc, apoi arânjaţi cifrele astfel încât să obţineţi cel mai mare şi cel mai mic număr format din aceste cifre, după care, scădeţi din numărul mai mare pe cel mai mic şi repetaţi toate aceste operaţii pentru fiecare număr nou. După cel mult şapte asemenea calcule veţi da de numărul 6174, moment în care operaţia se va repeta avănd ca rezultat tot 6174. Numărul 6174 reprezintă constanta lui Kaprekar. Încercaţi şi voi. Hai să luăm un exemplu: 5943,

9543 – 3459 = 6084

8640 – 0468 = 8172

8721 – 1278 = 7443

7443 – 3447 = 3996

9963 – 3699 = 6264

6642 – 2466 = 4176

7641 – 1467 = 6174

7641 – 1467 = 6174

Regula se aplică pentru orice număr format din patru cifre, dar care să nu conţina aceaşi cifră de patru ori! Să luăm alt exemplu: 2011

2110 – 0112 = 1998

9981 – 1899 = 8082

8820 – 0288 = 8532

8532 – 2358 = 6174!

Pentru numerele formate din trei cifre constanta este 495. Nu există o constantă anume pentru numere compuse din mai mult de patru cifre.

142857

142857 este un număr ciclic, dar şi un număr Kaprekar.

Un număr ciclic este un număr întreg în care permutările cifrelor care compun numărul sunt multipli succesivi ai acestui număr:

142857 x 1 = 142857

142857 x 2 = 285714

142857 x 3 = 428571

142857 x 4 = 571428

142857 x 5 = 714285

142857 x 6 = 857142

Pentru obţinerea unui număr format din permutările cifrelor numărului 142857 la înmulţirile cu numere mai mari decăt 7, se va aplica următoarea metodă: adunaţi ultimile şase cifre ale rezultatului cu primele cifre până când rezultatul va fi o permutare ciclică a numărului 142857. De exemplu:

142857 x 23 = 3285711 => 3 + 285711 = 285714, sau

142857 x 89 = 12714273 => 12 + 714273 = 714285, sau

142857 x 725 = 103571325 => 103 + 571325 = 571428

Acest proces nu va funcţiona pentru înmulţirea cu 7, dar, în schimb, vom regasi această permutare ciclică în împărţirea cu multipli ai lui 1/7:

1 : 7 = 0.(142857)

2 : 7 = 0.(285714)

3 : 7 = 0.(428571)

4 : 7 = 0.(571428)

5 : 7 = 0.(714285)

6 : 7 = 0.(857142)

7 : 7 = 0.(999999) (mai multe va poate explica Dana ;))

8 : 7 = 1.(142857)

9 : 7 = 1.(285714)

Un număr Kaprekar este un număr pozitiv care înmulţit cu el însuşi va da un rezultat care, despărţit în două şi adunat va rezulta numărul iniţial:

45 x 45 = 2025 => 20 + 25 = 45, sau

2728 x 2728 = 7441984 => 744 + 1984 = 2728.

Şi 142857 este un astfel de număr: 142857 x 142857 = 20408122449 => 20408 + 122449 = 142857.

Din câte puteţi vedea, domnul Kaprekar era un om foarte inteligent...Mă întreb câţi dintre noi au auzit de el şi câţi au auzit de Andreea Bălan de exemplu (random name)...Păcat că în şcoli nu se învaţă asemenea lucruri, lucruri magice ce pot uşor atrage interesul elevilor către această ştiinţă minunată! 

Surse: wiki/6174, wiki/142857