Să presupunem că avem ecuaţia 24x + 15y = 180 şi că x şi y sunt numere diferite, întregi şi pozitive. Iată cum putem afla una din multitudinile valorilor lui x şi y exceptând metoda prin încercare.
Pentru început ne vom folosi de algoritmul lui Euclid pentru aflarea celui mai mare numitor comun al două numere, care spune aşa: să presupunem că r1 > r2. Vom împărţii r1 la r2 , ia restul împărţirii îl vom denumi r3.
Apoi vom împărţii pe r2 la r3, iar restul îl vom denumi r4. Şi tot aşa până când restul împărţirii va fi zero. Ultimul rest diferit de zero va fi cel mai mare numitor comul al celor două numere.
În cazul nostru r1 = 24, iar r2 = 15. Va rezulta:
Dacă vom continua, restul va fi zero. Prin urmare cel mai mare numitor comun al lui 24 si 15 este 3. În continuare ne vom folosi de ultima ecuaţie ce reprezintă o afirmaţie adevărată, unde vom înlocui pe 9 şi pe 6 din primele ecuaţii de mai sus. Prin urmare:
9 – 6 x 1 = 3, adică
(24 – 15 x 1) – (15 – 9 x 1) = 3, păstrând termenii 24 şi 15 separaţi vom avea
24 – 15 x 2 + 9 = 3, înlocuindu-l pe 9 cu prima ecuaţie vom avea
24 – 15 x 2 + 24 – 15 x 1 = 3 , adică
24 x 2 – 15 x 3 = 3, adică
24 x 2 + 15 x (-3) = 3
Ecuaţia începe să semene cu cea iniţială şi prin urmare o vom amplifica cu 180 pentru a o apropia mai mult de aceasta şi vom avea:
24(2 x 180) + 15(-3 x 180) = 3 x 180, adică
24(360) + 15(-540) = 540.
Pentru a-l face pe coeficientul lui 15 sa fie pozitiv, va trebui să adăugăm un multiplu de 15, să zicem 15n la partea stângă a ecuaţiei:
24(360) + 15(-540 + n) – 15n = 540, adică
24(360 – 15n/24) + 15(-540 + n) = 540.
Din moment ce 15n/24 va trebui sa fie un număr întreg, va trebui ca n sa fie un multiplu de 24, adică n = 24t. Prin urmare:
24(360 – 15t) + 15(-540 + 24t) = 540.
Va trebui sa găsim valoarea lui t pentru care expresia (-540 + 24t) sa fie pozitivă dar cât mai mică posibil. Împărţind 540 la 24 obţinem 22.5 şi vom rotunji la 23. Prin urmare dacă presupunem ca t = 23, vom avea:
24[360 - (15 x 23)] + 15[-540 + (24 x 23)] = 540, adică
24(360 - 345) + 15(-540 + 552) = 540, adică
24(15) + 15(12) = 540, simplificând cu 3, vom avea
24(5) + 15(4) = 180.
Aşa că x = 5 iar y = 4.
La prima vedere pare complicat dar nu este deloc aşa. Încercaţi şi voi!
