• Nu-ti lasa creierul sa leneveasca!

    Rezolvarea unei ecuaţii cu două necunoscute


    Să presupunem că avem ecuaţia 24x + 15y = 180 şi că x şi y sunt numere diferite,  întregi şi pozitive. Iată cum putem afla una din multitudinile valorilor lui x şi y exceptând metoda prin încercare.

    Pentru început ne vom folosi de algoritmul lui Euclid pentru aflarea celui mai mare numitor comun al două numere, care spune aşa: să presupunem că r1 > r2. Vom împărţii r1 la r2 , ia restul împărţirii îl vom denumi r3
    Apoi vom împărţii pe r2 la r3, iar restul îl vom denumi r4. Şi tot aşa până când restul împărţirii va fi zero. Ultimul rest diferit de zero va fi cel mai mare numitor comul al celor două numere.
    În cazul nostru r1 = 24, iar r2 = 15. Va rezulta:



    Dacă vom continua, restul va fi zero. Prin urmare cel mai mare numitor comun al lui 24 si 15 este 3. În continuare ne vom folosi de ultima ecuaţie ce reprezintă o afirmaţie adevărată, unde vom înlocui pe 9 şi pe 6 din primele ecuaţii de mai sus. Prin urmare:

    9 – 6 x 1 = 3, adică
    (24 – 15 x 1) – (15 – 9 x 1) = 3, păstrând termenii 24 şi 15 separaţi vom avea
    24 – 15 x 2 + 9 = 3, înlocuindu-l pe 9 cu prima ecuaţie vom avea
    24 – 15 x 2 + 24 – 15 x 1 = 3 , adică
    24 x 2 – 15 x 3 = 3, adică
    24 x 2 + 15 x (-3) = 3

    Ecuaţia începe să semene cu cea iniţială şi prin urmare o vom amplifica cu 180 pentru a o apropia mai mult de aceasta şi vom avea:

    24(2 x 180) + 15(-3 x 180) = 3 x 180, adică
    24(360) + 15(-540) = 540.

    Pentru a-l face pe coeficientul lui 15 sa fie pozitiv, va trebui să adăugăm un multiplu de 15, să zicem 15n la partea stângă a ecuaţiei:

    24(360) + 15(-540 + n) – 15n = 540, adică
    24(360 – 15n/24) + 15(-540 + n) = 540.

    Din moment ce 15n/24 va trebui sa fie un număr întreg, va trebui ca n sa fie un multiplu de 24, adică n = 24t. Prin urmare:

    24(360 – 15t) + 15(-540 + 24t) = 540.

    Va trebui sa găsim valoarea lui t pentru care expresia (-540 + 24t) sa fie pozitivă dar cât mai mică posibil. Împărţind 540 la 24 obţinem 22.5 şi vom rotunji la 23. Prin urmare dacă presupunem ca t = 23, vom avea:

    24[360 - (15 x 23)] + 15[-540 + (24 x 23)] = 540, adică
    24(360 - 345) + 15(-540 + 552) = 540, adică
    24(15) + 15(12) = 540, simplificând cu 3, vom avea
    24(5) + 15(4) = 180.

    Aşa că x = 5 iar y = 4.
    La prima vedere pare complicat dar nu este deloc aşa. Încercaţi şi voi!


    8 comentarii:

    1. Acest comentariu a fost eliminat de autor.

      RăspundețiȘtergere
    2. Pare destul de complicat si nu am inteles undeva , de ce la inceput ai pus x1, inseamna inmultit cu 1, dar asta nu se mai pune de ce l-ai pus.
      Si inca ceva aici de ce nu faci inmultires si continui cu x2? "(24 – 15 x 1) – (15 – 9 x 1)"

      RăspundețiȘtergere
    3. Pare un pic complicat la inceput pana intelegi procedeul :)

      Incercam sa patram termenii 24 si 15 intacti. Puteam sa scriu (24-15)-(15-9) = 24-15-15+9 = 24-30+9, adica 24-15x2+9, dar am zis ca se va intelege mai bine daca folosesc x1.

      RăspundețiȘtergere
    4. nam inteles mai nimik de aici

      RăspundețiȘtergere
    5. Cum am mai spus, e putin dificil la inceput pana intelegi sistemul, dupa care devine totul mai clar.

      RăspundețiȘtergere
    6. pana la intelegerea rezolvarii, ne putem distra cu o alta metoda de gasire a c.m.m.d.c. (metoda care, desigur, nu ne va ajuta la problema noastra cu 24x + 15y = 180):

      http://www.youtube.com/watch?v=_0x7uCiC0Uc

      RăspundețiȘtergere
    7. http://www.wikihow.com/Solve-a-Linear-Diophantine-Equation

      pasul 1. scrierea ecuatiei
      ax+by=c -> 24x+15y=180

      pasul 2. obtinerea c.m.m.d.c. si a câturilor
      24=1x15+9
      15=1x9+6
      9=1x6+3
      6=2x3+0
      -> c.m.m.d.c.(24, 15)=3
      -> 1, 1, 1, 2 (câturile vor fi folosite la construirea tabelului de la pasii 4-7)

      pasul 3. simplificarea ecuatiei cu c.m.m.d.c. daca este posibil. daca nu este posibil, ecuatia nu are solutie intreaga.
      24x+15y=180 | 3 -> 8x+5y=60

      pasii 4-7. completarea "tabelului magic"
      - - | 1 1 1 2 <- câturile de la pasul 2
      ----|-----------
      0 1 | 1 2 3 8=2*3+2
      1 0 | 1 1 2 5=2*2+1
      pe coloanele cu "-" sunt intotdeauna aceleasi valori: 0 1 si 1 0

      completarea tabelului se face inmultind valoarea din capul de tabel cu valoarea din stanga casutei pe care o calculam, la produs adaugandu-se apoi valoarea care e doua casute la stanga casutei.

      pasul 8. numerele din ultimele doua coloane ale tabelului sunt inmultite pe diagonala si se scad (determinantul matricei 2x2). daca ati observat, in ultima coloana sunt exact numerele noastre (8, 5) din 8x+5y=60

      8x2-5x3=1. rezultatul e întotdeauna 1 sau -1. dacă nu era 1, se înmulţea cu -1 ca să fie.

      pasul 9. aşezarea termenilor ca să semene cu ecuaţia noastră cea simplificată

      8(2)+5(-3)=1

      pasul 10. aducerea la valoarea lui c=60 prin amplificare
      8(2)+5(-3)=1 | *60
      8(2*60)+5(-3*60)=1*60
      8(120)+5(-180)=60
      prima solutie: (120, -180) - nu respecta restrictia de numere intregi pozitive

      pasul 11. scrierea formei generale a solutiilor (in multimea numerelor reale, ar fi o infinitate de solutii daca nu ar exista restrictiile)
      ax + by = a(x+kb) + b(y-ka)
      8(120)+5(-180)=8(120+k5)+5(-180-k8)

      bunul simt primeaza :)
      cum facem sa aducem ambii termeni pe plus?
      120/5=24
      180/8=22.5
      considerand k=-23 -> x=120+5(-23)=5, y=-180-8(-23)=4
      solutie (5, 4)

      considerand k=-24 -> x=120+5(-24)=0, y=-180-8(-24)=12
      solutie (0, 12)


      o observatie:
      ecuatia de mai sus se poate transpune intr-un grafic liniar
      f(x)=y=(180-24x)/15=(60-8x)/5
      cu intersectia axelor in (0, 12) si (7.5, 0)

      http://rechneronline.de/function-graphs/
      scrieti in loc de x^2 la f(x): (60-8*x)/5
      la Range x si y-axis from -5 to 15
      la Intervals x si y-axis: 20
      si apasati butonul Draw

      RăspundețiȘtergere
    8. Foarte interesant Anonim, multumesc pentru link-uri si pentru completari :)

      RăspundețiȘtergere

     
    Page Rank
    contoare