• Nu-ti lasa creierul sa leneveasca!

    Puzzle geometric 3 + rezolvare


    Astazi va pun la incercare cunostiintele de geometrie cu un mic puzzle. Ideea este sa aflati aria figurii colorate in verde cunoscand urmatoarele:
    • Cele patru figure colorate in albastru sunt identice;
    • Perimetrul unei figuri albastre este de 15.92 cm;
    • Pentru a va ajuta la calcule vom considera √2 = 1.41, iar π = 3.14.

    Mult success!


    Rezolvare



    Trasăm liniile ajutătoare şi numerotăm 7 puncte ca în figura de mai jos.


    Notăm cu r raza cercului şi cu L lungimea segmentului FG care este egală cu FE.
    Din enunţ cunoaştem perimetrul unei figuri albastre. Observăm ca aceasta este compusă dintr-un triunghi isoscel EFG şi un semicerc. Diagonala semicercului este baza triunghiului isoscel, deci segmentul va fi egal cu 2r. Perimetrul figurii albastre va fi egal cu perimetrul triunghiului EFG, plus jumătate din perimetrul cercului, adică:

    PFIG = L + L + 2πr/2 - 2r = 2L + πr – 2r.

    Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AEF, care spune ca pătratul ipotenuzei este egală cu suma pătratelor catetelor, deci:

    FE2 = AF2 + AE2 => L2 = r2 + r2 => L = rÖ2.

    Atunci, PFIG = 2rÖ2 + πr – 2r = r(2Ö2 + π -2) = r(2x1.41 + 3.14 - 2) = 3.96r. dar cum din enunţ perimetru este de 15.92, va rezulta r = 4.02.

    Ca să aflăm aria zonei haşurate va trebui sa scădem din aria pătratului ABCD, de două ori aria triunghiului AEF şi aria unui semicerc (deoarece avem o pătrime de cerc formată cu punctul B şi altă pătrime formată cu punctul C). Observăm ca latura pătratului este egală cu 2r şi mai ştim că aria triunghiului dreptunghic este egală cu semiprodusul catetelor. Vom avea:

    A = (2r x 2r) – [2 x (r x r )/2] - πr2/2 = 4r2 - r2 - πr2/2 = 3r2 - πr2/2 . Înlocuind pe r cu 4.02 vom avea, A = 23.11.






    9 comentarii:

    1. Să vedem ce iese, după o lipsă acută de geometrie în meniu :)

      Notăm:
      X - suprafaţa dorită
      A - punct colţ stg. X
      B - punct colţ sus X
      P - perimetrul figurii albastre
      l - segmentul AB
      D - diagonala semicerc din fig. albastră // ipotenuza triunghiului dreptunghic isoscel, unde cateta este l

      D = 1.41*l (conf. teoremei lui Pitagora)

      P = l + l + circumferinţă semicerc
      = 2l + (pi*D)/2
      = 2l + 2.2137l
      = 4,2137l
      --> l = 3,7781 = 3,78
      --> aflăm aria pătratului cu latura l (segmentul AB)
      Arie = l^2 = 14.2884 = 14.29

      X = Arie - 2*(arie segment circular)

      segment circular - o porţiune din interiorul unui cerc cuprinsă între un arc de cerc şi coarda care subîntinde acel arc de cerc; în cazul nostru coarda este l

      Arie segment circular = r^2[(pi*n)/360 - sin(n/2)*cos(n/2)]
      unde n - unghiul la centru = 90
      --> Arie segment = 2.0371 = 2.04 (dacă nu am greşit cumva la calcule :D)

      --> X = 14.29 - 2*2.04
      = 10.21

      RăspundețiȘtergere
    2. Nu mai primim rezolvarea? Eu am scris acum cateva zile (10.2 cm patrati) si ma gandesc ca poate a fost o eroare de retea, din moment ce nu a aparut nimic la aceasta postare.

      RăspundețiȘtergere
    3. Imi cer scuze pentru intarziere, undeva mai pe seara o sa postez raspunsurile si rezolvarea. Ideea e ca am avut ceva probleme cu netul in ultimul timp si nu am apucat sa afisez rezolvarea. Mii de scuze :)

      RăspundețiȘtergere
    4. „Perimetrul figurii albastre va fi egal cu perimetrul triunghiului EFG, plus jumătate din perimetrul cercului, adică...” De ce ai introdus în calculul perimetrului și a 3-a latură a triunghiului? Perimetrul este linia închisă care mărginește o suprafață, în cazul nostru cele 2 catete și jumătate din circumferința cercului

      RăspundețiȘtergere
    5. Nu mai văd nicio greșeală, dar atunci nu înțeleg unde-am greșit în raționamentul meu! Mai studiez :)

      RăspundețiȘtergere
    6. La calculul perimetrului ai uitat sa scazi diametrul, si te-ai complicat putin la calculul ariei ;)

      RăspundețiȘtergere

     
    Page Rank
    contoare