Astazi va pun la incercare cunostiintele de geometrie cu un mic puzzle. Ideea este sa aflati aria figurii colorate in verde cunoscand urmatoarele:
- Cele patru figure colorate in albastru sunt identice;
- Perimetrul unei figuri albastre este de 15.92 cm;
- Pentru a va ajuta la calcule vom considera √2 = 1.41, iar π = 3.14.
Rezolvare
Trasăm liniile ajutătoare şi numerotăm 7 puncte ca în figura de mai jos.
Notăm cu r raza cercului şi cu L lungimea segmentului FG care este egală cu FE.
Din enunţ cunoaştem perimetrul unei figuri albastre. Observăm ca aceasta este compusă dintr-un triunghi isoscel EFG şi un semicerc. Diagonala semicercului este baza triunghiului isoscel, deci segmentul va fi egal cu 2r. Perimetrul figurii albastre va fi egal cu perimetrul triunghiului EFG, plus jumătate din perimetrul cercului, adică:
PFIG = L + L + 2πr/2 - 2r = 2L + πr – 2r.
Aplicăm teorema lui Pitagora în triunghiul dreptunghic AEF, care spune ca pătratul ipotenuzei este egală cu suma pătratelor catetelor, deci:
FE2 = AF2 + AE2 => L2 = r2 + r2 => L = rÖ2.
Atunci, PFIG = 2rÖ2 + πr – 2r = r(2Ö2 + π -2) = r(2x1.41 + 3.14 - 2) = 3.96r. dar cum din enunţ perimetru este de 15.92, va rezulta r = 4.02.
Ca să aflăm aria zonei haşurate va trebui sa scădem din aria pătratului ABCD, de două ori aria triunghiului AEF şi aria unui semicerc (deoarece avem o pătrime de cerc formată cu punctul B şi altă pătrime formată cu punctul C). Observăm ca latura pătratului este egală cu 2r şi mai ştim că aria triunghiului dreptunghic este egală cu semiprodusul catetelor. Vom avea:
A = (2r x 2r) – [2 x (r x r )/2] - πr2/2 = 4r2 - r2 - πr2/2 = 3r2 - πr2/2 . Înlocuind pe r cu 4.02 vom avea, A = 23.11.
.jpg)
