Sa ne jucam cu geometria

Pentru rezolvarea urmatoarelor exercitii ne vom folosi de asemanarea triunghiurilor.

Teorema asemanarea triunghiurilor al lui Thales: O paralela la una din laturile unui triunghi, formeaza cu celelalte doua laturi, sau cu prelungirile lor, un triunghi asemenea cu cel dat.
DE || BC => AD/DB = AE/EC, AD/AB = AE/AC, DB/AB = EC/AC.

Cazuri asemanare triunghiuri:

• Cazul UU - au doua unghiuri congruente
• Cazul LUL - au doua laturi proportionale si unghiul dintre ele congruent
• Cazul LLL – au toate laturile proportionale

1. Cum masori inaltimea unui copac fara a te urca in el? Pai, simplu:

Folosindu-te de un triunghi dreptunghic ca in figura de mai jos.
Vom sti lungimea catetei AC si marimea unghiului CAB. Conform formulei trigonometrice dintr-un triunghi dreptunghic: Tangenta = Cateta opusa/ Cateta alaturata, vom avea BC = AC x tan.unghi CAB. Simplu, nu?

2. Cum masori lungimea unui rau fara a-l traversa propiu-zis in vreun fel?

Raspunsul sta in asemanarea triunghiurilor. Masuram o distanta oarecare (AC) perpendiculara pe latimea raului (AB) dupa care mai masuram o distanta (DC) perpendiculara la randul ei pe cea precedenta. Trasam imaginar o linie intre punctele B si D si notam cu E punctul in care aceasta intersecteaza AC. Masuram distanta AE si respectiv EC. Conform asemanarii triunghiurilor avem formula AB/DC = AE/EC => AB = (DCxAE)/EC.

Puzzle propus de Henry Ernest Dudeney.

3. Un vanator are o pusca AB, lunga de 1.20m. Partea AD de la un capat al pustii pana la tragaci este 1/3 din pusca. El ocheste o pasare C care se afla 100m departare de el. Dar vanatorului ii tremura mana si din cauza aceasta, in momentul cand apasa pe tragaci, pusca se roteste in jurul capatului A astfel incat punctul D se ridica cu un segment DE=2mm. Cu cati m deasupra tintei trece glontul?

Rezolvare:
AC=100m=10000cm. DE=2mm=0.2cm, AB=1.2m=120cm
AD/AB=1/3 => AD=40cm.
DE||MC => triunghiul ADE este asemenea cu triunghiul ACM => AD/AC=DE/MC => MC=50cm=0.5m.

Problema propusa de Prof. Mihaela Puricica pentru clasele I-VIII.

4. Cum aflam distanta de la persoana din imagine aflata pe un mal la copacul de pe celalalt mal?

Realizam conform desenului alaturat un triunghi ABC si un segment DE paralel cu BC. Din teorema fundamentala a asemanarii, pentru triunghiul ABC si paralela DE || BC, avem AD=(DExDB)/(BC-DE).
Lungimile DE, DB, BC, fiind pe acelasi mal sunt masurabile.

Problema propusa de Prof. Mihaela Puricica pentru clasele I-VIII.