Triunghiul lui Pascal

Triunghiul lui Pascal este o formă geometrică în alcătuirea caruia se folosesc coeficienţi binominali. Triunghiul poartă numele celebrului matematician francez BlaisePascal (19 iunie 1623 – 19 august 1662) deoarece el a fost prima persoană care a descoperit importanţa tuturor modelelor din componenţa acestuia. Acest triunghi a fost prima oară descoperit de matematicianul chinez Jia Xian undeva prin secolul al XI-lea! În China modernă tringhiul poartă numele lui Yang Hui pentru că acesta a explicat în detaliu metoda lui Jia Xian din cartea originală în care acesta a fost publicat „Shi suo suan shu”, carte ce a fost pierdută de-a lungul timpului.

Fiecare număr din componenţa acestui triunghi este de fapt, suma celor două numere de deasupra acestuia. Triunghiul începe cu numărul 1, acesta reprezentând prin convenţie rândul zero al triunghiului. Rândul 1 al triunghiului este obţinut prin adunarea numărului 0 din stânga şi din dreapta de deasupra acestuia. Toate numerele din afara triunghiului sunt întotdeauna zero, prin urmare rândul 2 va fi 0 + 1 = 1, 1 + 1 = 2 şi 1 + 0 = 1. Aveţi alături un gif animat preluat de pe wikipedia ce explică această modalitate de formare a triunghiului. În cele ce urmează vom vorbi câte puţin despre modelele pe care le formează acest triunghi.

Suma rândurilor

Suma numerelor ce formează fiecare rănd al triunghiului va fi egal cu dublul sumei rândului precedent, reprezentând astfel puterile lui 2. Adică:

1 = 2⁰

1 + 1 = 2 = 2¹

1 + 2 + 1 = 4 = 2²

1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 2³

1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 2⁴

Puterile lui 11

Dacă considerăm fiecare rând a fi un singur număr, atunci acesta va reprezenta puterile lui 11. De la rândul al cincilea încolo, unde vom avea numere formate din  mai multe cifre, vom aduna numărul de pe poziţia precedentă cu prima cifră a numărului şi tot aşa pănă cănd acestea se termină. Exemplu:

1 = 11⁰

11 = 11¹

121 = 11²

1331 = 11³

14641 = 11⁴

1 5 10 10 5 1 = 1(5+1)(0+1)051 = 161051 = 11⁵

1 6 15 20 15 6 1 = 1(6+1)(5+2)(0+1)561= 1771561 = 11⁶

Numere prime

Dacă primul element dintr-un rând este un număr prim (numărul 1 al fiecărui rând este considerat prin convenţie elementul zero), atunci toate numerele ce compun acel rând sunt divizibile cu acel număr prim. De exemplu:

Rândul 7: 1 7 21 35 35 21 7 1. Numerele 21 şi 35 sunt divizibile cu 7.

Rândul 11: 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1. Numerele 55, 165, 330 şi 462 sunt divizibile cu 11.

Simetrie

Triunghiul este simetric. Partea dreaptă este oglindirea părţii stângi.

Pătratul elementelor unui rând

Suma pătratelor tuturor numerelor ce formează un rând va fi egală cu elementul din mijloc al dublului răndului iniţial:

Rândul 3: 1² + 3² +  3² + 1² = 1 +9 + 9 + 1 = 20. Elementul din mijloc al rândului 3 x 2 = 6 este 20.

Rândul 4: 1² + 4² + 6² + 4² + 1² = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70. Elementul din mijloc al rândului 4 x 2 = 8 este 70.

Diagonale

Prima diagonală a triunghiului conţine numai numărul 1. A două diagonală este reprezentată de numerele naturale pozitive în ordine crescătoare, a treia diagonală conţine numerele triunghiulare despre care am vorbit în postarea Numere poligonale, a patra diagonală conţine numerele tetraedre care sunt date de formula n(n+1)(n+2)/3!, iar următoarea diagonală este reprezentată de numerele pentatope, ce sunt date de formula n(n+1)(n+2)(n+3)/4!.

Dacă vă uitaţi la diagonala a treia şi adunaţi elementele sale două câte două veţi obţine numerele pătratice. Adică:

1 + 0 = 1 = 1²

1 + 3 = 4 = 2²

3 + 6 = 9 = 3²

6 + 10 = 16 = 4², etc

Seria lui Fibonacci

Serialui Fibonacci, despre care vom vorbi într-o postare viitoare, este formată din numerele 0,  1, 1, 2, 3, 5, 813, 21, 34, 55, ... şi este dată de formula n = (n - 1) + (n - 2).

Această serie o putem regăsi în triunghiul lui Pascal dacă adunăm numerele ce formează diagonalele cu o pantă mai lină faţă de cele normale, reprezentate în figura de alături.

Numere pare şi impare

Dacă colorăm cu o culoare numerele pare şi cu altă culoare pe cele impare din triunghi, vom ajunge la un model identic cu cel al triunghiului Sierpinski.

Modelul crosei de golf sau de hochei

Începeţi cu orice „1” din dreapta sau din stânga marginilor triunghiului şi mergeţi pe diagonală oricât vreţi. Atunci cănd vă opriţi întoarceţi-vă cu 90 de grade iar acel număr va fi egal cu suma tuturor numerelor de pe diagonala cu care aţi început.

Expansiuni algebrice.

Să încercăm să dezvoltăm expresia (1 + x)². Vom avea (1 + x)² = (1 + x)(1 + x) = 1 + 2x + x². Dacă ne uităm la coeficienţi fiecărui element din rezultat, vom odserva că aceştia sunt 1, 2, 1, adică rândul 2 al triunghiului. Acest model se aplică pentru fiecare (1 + x)ⁿ. Exemplu:

(1 + x)⁰ = 1 = Rând 0

(1 +x )¹ = 1 + x = 1, 1 = Rând 1

(1 + x)² = (1 + x)(1 + x) = 1 + 2x + x² = 1, 2, 1 = Rând 2

(1 + x)³ = 1 + 3x + 3x² + x³ = 1, 3, 3, 1 = Rând 3

(1 + x)⁴ = 1⁴ + 4*1³*x + 6*1²*x² + 4*1*x³ + x⁴ = 1, 4, 6, 4, 1 = Rând 4

Puncte într-un cerc

După cum putea vedea în figura de mai jos, fără prima diagonală, mai putem regăsi numerele ce compun fiecare rând din triunghiul lui Pascal după punctele înscrise într-un cerc, care formează diferite figuri geometrice.

Combinaţii de elemente

Să presupunem că vrem să cumpărăm o îngheţată, dar avem la dispoziţie 5 topinguri din care putem alege. Câte combinaţii de topinguri sunt posibile? Folosind formula ⁿC_k = n!/(n-k)!k!, vom avea:

⁵C₀ = 5!/(5-0)!0! = 1, fără nici un toping

⁵C₁ = 5!/(5-1)!1! = 5, combinaţii posibile selectând un singur toping din cele 5

⁵C₂ = 5!/(5-2)!2! = 10, combinaţii posibile selectând 2 topinguri din cele 5

⁵C₃ = 5!/(5-3)!3! = 10, combinaţii posibile selectând 3 topinguri din cele 5

⁵C₄ = 5!/(5-4)!4! = 5, combinaţii posibile selectând 4 topinguri din cele 5

⁵C₅ = 5!/(5-5)!5! = 1, combinaţii posibile selectând 5 topinguri din cele 5

După cum putem observa rezultatele sunt exact numerele ce formează rândul 5 al triunghiului lui Pascal!

O istorie interesantă a acestui triunghi mai puteţi găsi aici.

Surse: wiki/Pascal's_triangle, mathsisfun