Numere poligonale partea 1

In matematica, un numar poligonal este un numar reprezentat prin puncte sau cerculete (pietricele) aranjat sub forma unui poligon regulat. Primul numar dintr-o asemenea serie este intotdeauna 1, sau un punct. Al doilea numar este egal cu numarul de vertecsi ai poligonului respectiv. Al treilea numar poligonial este obtinut prin extensia a doua laturi ai celui de-al doilea numar poligonial, completand cu vertecsi poligonul marit acolo unde este necesar. Al treilea numar poligonial este egal cu suma vertecsilor din figura rezultata. Aveti mai jos cateva exemple.

Dintre acestea enumeram serii de numere triunghiulare, patrate, pentagonale, hexagonale, heptagonale, si tot asa... Aveti aici o lista cu 30 asemenea serii de numere reprezentate sub forma unui poligon regulat cat si formulele de calcul aferente. Am sa vorbesc putin in cele ce urmeaza doar despre numerele triunghiulare ca astfel sa nu fie prea mare postarea prezenta. In postarea viitoare vom vorbi despre numerele patratice.

Numere triunghiulare.

Numerele triunghiulare sunt formate din sume partiale ale seriei 1+2+3+4+5+6+...+n. Asa ca:

Triunghiul 1 = T1 = 1
Triunghiul 2 = T2 = 1 + 2 = 3
T3 = 1 + 2 + 3 = 6
T4 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10. Si asa mai departe.

Asa ca, numarul n va fi obtinut folosind formula T(n) = n*(n+1)/2, unde n este un numar natural.

Pasarile zboara uneori in stoluri de forma triunghiulara. Si avioanele, atunci cand zboara in formatie, folosesc aceasta forma triunghiulara. Propietatiile acestei serii de numere au fost studiate prima data de matematicienii Grecii antice. In postarea „Sa ne jucam cu matematica” v-am prezentat o metoda inedita prin care Karl Gauss a calculat in cateva secunde suma numerelor de la 1 la 100. Ajungem la acelasi rezultat folosind formula de calcul de mai sus, adica:

T(100) = 100*(100+1)/2 = 100/2 * 101 = 50*101 = 5050.

Va prezint cateva propietati curioase ale numerelor triunghiulare:

Suma a doua numere triunghiulare consecutive va fi intotdeauna un numar patratic:

T1 + T2 = 1 + 3 = 4 = 2²sau T2 + T3 = 3 + 6 = 9 = 3²

Daca T este un numar triunghiular, atunci 9*T + 1 va fi de asemenea un numar triunghiular:

9*T1 + 1 = 9*1 + 1 = 10 = T4 sau 9*T2 + 1 = 9*3 + 1 = 28 = T7

Daca T este un numar triunghiular, atunci 8*T + 1 va fi un patrat perfect:

8*T1 + 1 = 8*1 + 1 = 9 = 3² sau 8*T2 + 1 = 8*3 + 1 = 25 = 5²

Un numar triunghiular nu se poate termina niciodata in 2, 4, 7 sau 9;
Orice numar intreg poate fi obtinut adunand pana la maxim trei numere triunghiulare: 51 = 15 + 36 = T5 + T8. Aceasta proprietate a fost descoperita si demonstrata de Karl Gauss acum 200 de ani.
Suma cifrelor unui numar triunghiular pana cand ramane o singura cifra va fi intotdeauna 1, 3, 6 sau 9;
Suma a n numere ridicate la cub consecutive incepand cu 1 este egal cu patratul celui de-al n numar triunghiular: T(n)² = 1³ + 2³ + ... + n³.