

Suma rândurilor
Suma numerelor ce formează fiecare rănd al triunghiului va fi egal cu dublul sumei rândului precedent, reprezentând astfel puterile lui 2. Adică:
1 = 20
1 + 1 = 2 = 21
1 + 2 + 1 = 4 = 22
1 + 3 + 3 + 1 = 8 = 23
1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 = 24
Puterile lui 11
Dacă considerăm fiecare rând a fi un singur număr, atunci acesta va reprezenta puterile lui 11. De la rândul al cincilea încolo, unde vom avea numere formate din mai multe cifre, vom aduna numărul de pe poziţia precedentă cu prima cifră a numărului şi tot aşa pănă cănd acestea se termină. Exemplu:
1 = 110
11 = 111
121 = 112
1331 = 113
14641 = 114
1 5 10 10 5 1 = 1(5+1)(0+1)051 = 161051 = 115
1 6 15 20 15 6 1 = 1(6+1)(5+2)(0+1)561= 1771561 = 116
Numere prime
Dacă primul element dintr-un rând este un număr prim (numărul 1 al fiecărui rând este considerat prin convenţie elementul zero), atunci toate numerele ce compun acel rând sunt divizibile cu acel număr prim. De exemplu:
Rândul 7: 1 7 21 35 35 21 7 1. Numerele 21 şi 35 sunt divizibile cu 7.
Rândul 11: 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1. Numerele 55, 165, 330 şi 462 sunt divizibile cu 11.
Simetrie
Triunghiul este simetric. Partea dreaptă este oglindirea părţii stângi.
Pătratul elementelor unui rând
Suma pătratelor tuturor numerelor ce formează un rând va fi egală cu elementul din mijloc al dublului răndului iniţial:
Rândul 3: 12 + 32 + 32 + 12 = 1 +9 + 9 + 1 = 20. Elementul din mijloc al rândului 3 x 2 = 6 este 20.
Rândul 4: 12 + 42 + 62 + 42 + 12 = 1 + 16 + 36 + 16 + 1 = 70. Elementul din mijloc al rândului 4 x 2 = 8 este 70.
Diagonale

Dacă vă uitaţi la diagonala a treia şi adunaţi elementele sale două câte două veţi obţine numerele pătratice. Adică:
1 + 0 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
3 + 6 = 9 = 32
6 + 10 = 16 = 42, etc
Seria lui Fibonacci

Această serie o putem regăsi în triunghiul lui Pascal dacă adunăm numerele ce formează diagonalele cu o pantă mai lină faţă de cele normale, reprezentate în figura de alături.
Numere pare şi impare
Dacă colorăm cu o culoare numerele pare şi cu altă culoare pe cele impare din triunghi, vom ajunge la un model identic cu cel al triunghiului Sierpinski.
Modelul crosei de golf sau de hochei
Începeţi cu orice „1” din dreapta sau din stânga marginilor triunghiului şi mergeţi pe diagonală oricât vreţi. Atunci cănd vă opriţi întoarceţi-vă cu 90 de grade iar acel număr va fi egal cu suma tuturor numerelor de pe diagonala cu care aţi început.
Expansiuni algebrice.
Să încercăm să dezvoltăm expresia (1 + x)2. Vom avea (1 + x)2 = (1 + x)(1 + x) = 1 + 2x + x2. Dacă ne uităm la coeficienţi fiecărui element din rezultat, vom odserva că aceştia sunt 1, 2, 1, adică rândul 2 al triunghiului. Acest model se aplică pentru fiecare (1 + x)n. Exemplu:
(1 + x)0 = 1 = Rând 0
(1 +x )1 = 1 + x = 1, 1 = Rând 1
(1 + x)2 = (1 + x)(1 + x) = 1 + 2x + x2 = 1, 2, 1 = Rând 2
(1 + x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3 = 1, 3, 3, 1 = Rând 3
(1 + x)4 = 14 + 4*13*x + 6*12*x2 + 4*1*x3 + x4 = 1, 4, 6, 4, 1 = Rând 4
Puncte într-un cerc
După cum putea vedea în figura de mai jos, fără prima diagonală, mai putem regăsi numerele ce compun fiecare rând din triunghiul lui Pascal după punctele înscrise într-un cerc, care formează diferite figuri geometrice.
Combinaţii de elemente
Să presupunem că vrem să cumpărăm o îngheţată, dar avem la dispoziţie 5 topinguri din care putem alege. Câte combinaţii de topinguri sunt posibile? Folosind formula nCk = n!/(n-k)!k!, vom avea:
5C0 = 5!/(5-0)!0! = 1, fără nici un toping
5C1 = 5!/(5-1)!1! = 5, combinaţii posibile selectând un singur toping din cele 5
5C2 = 5!/(5-2)!2! = 10, combinaţii posibile selectând 2 topinguri din cele 5
5C3 = 5!/(5-3)!3! = 10, combinaţii posibile selectând 3 topinguri din cele 5
5C4 = 5!/(5-4)!4! = 5, combinaţii posibile selectând 4 topinguri din cele 5
5C5 = 5!/(5-5)!5! = 1, combinaţii posibile selectând 5 topinguri din cele 5
După cum putem observa rezultatele sunt exact numerele ce formează rândul 5 al triunghiului lui Pascal!
O istorie interesantă a acestui triunghi mai puteţi găsi aici.
Surse: wiki/Pascal's_triangle, mathsisfun